相関係数と共分散 | 生成AIxPythonで始める株式分析|Python×J-Quants

ある銘柄が動いたとき、別の銘柄も同じ方向に動くか。この「連動の強さ」を測る基本指標が共分散(covariance)と相関係数(correlation coefficient)です。本記事では定義と pandas での計算、相関行列の可視化までを整理します。

共分散の定義

2 つの変数 $X$ 、 $Y$ の共分散は次のとおりです。

\mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

同じ方向に動く傾向 → 正
逆方向に動く傾向 → 負
無関係 → ゼロ付近

ただし共分散は 単位の影響 を受けます。リターン同士なら %² 相当の単位になり、大きさだけ見ても解釈しづらいのが欠点です。

相関係数の定義

共分散を、各変数の標準偏差で割って単位をなくしたものが相関係数(ピアソンの相関係数)です。

\rho_{XY} = \frac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

値の範囲は $-1 \le \rho \le 1$ で、解釈は次のとおりです。

値の範囲	解釈
$+1$	完全な正の連動
$+0.7$ 〜 $+1$	強い正の連動
$+0.3$ 〜 $+0.7$	中程度の正の連動
$-0.3$ 〜 $+0.3$	ほぼ無関係
$-0.7$ 〜 $-0.3$	中程度の負の連動
$-1$ 〜 $-0.7$	強い負の連動
$-1$	完全な負の連動

ここで重要なのは、相関は線形的な関係しか捉えない ことです。U 字型の関係や、極端な領域だけで連動するケースは値が小さく出ることがあります。

Python で計算する

3 銘柄分のサンプルリターンを作って、共分散と相関を計算します。

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import numpy as np
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import pandas as pd
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rng = np.random.default_rng(7)
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n = 250  # 約 1 年分の営業日
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# A は基本トレンド、B は A と連動、C はほぼ独立
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base = rng.normal(0.0, 0.01, size=n)
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returns = pd.DataFrame({
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    "A": base + rng.normal(0.0, 0.005, size=n),
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    "B": base + rng.normal(0.0, 0.005, size=n),
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    "C": rng.normal(0.0, 0.012, size=n),
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})
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cov_matrix = returns.cov()
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corr_matrix = returns.corr()
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print("共分散行列:")
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print(cov_matrix.round(6))
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print("\n相関行列:")
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print(corr_matrix.round(3))

共分散行列の対角は分散、相関行列の対角は常に 1 です。

相関行列のヒートマップ

銘柄数が増えると数字を読み取るのが大変になります。matplotlib のヒートマップが見やすい選択肢です。

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import matplotlib.pyplot as plt
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 4))
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im = ax.imshow(corr_matrix, vmin=-1, vmax=1, cmap="coolwarm")
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ax.set_xticks(range(len(corr_matrix.columns)))
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ax.set_yticks(range(len(corr_matrix.columns)))
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ax.set_xticklabels(corr_matrix.columns)
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ax.set_yticklabels(corr_matrix.columns)
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# セルに数値を重ねる
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for i in range(len(corr_matrix)):
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    for j in range(len(corr_matrix)):
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        ax.text(j, i, f"{corr_matrix.iat[i, j]:.2f}", ha="center", va="center")
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fig.colorbar(im, ax=ax)
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ax.set_title("Correlation matrix")
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plt.tight_layout()
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plt.show()

色のスケールを $-1$ から $+1$ に固定しておくと、銘柄を入れ替えても色味の意味が一貫します。

相関の落とし穴

実務でよく踏みやすい落とし穴を挙げます。

相関は因果ではない: 連動しているからといって、片方がもう片方を引き起こしているとは限りません
欠損日の扱い: 片方だけデータがある日を含めると、計算がずれる可能性があります(dropna や align で揃える)
非線形関係: ピアソン相関は線形関係しか捉えません。順序関係を見るならスピアマンの順位相関を検討します
時間依存性: 相関は期間によって大きく変わります。直近 1 年と 5 年では別物になることがあります
見せかけの相関: 共通のトレンド(地合い・指数)で動いているだけのケースもあります

ローリング相関

相関の時間変化を追うには、ローリング相関が便利です。

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rolling_corr = returns["A"].rolling(window=60).corr(returns["B"])
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 3))
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ax.plot(rolling_corr.index, rolling_corr.values)
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ax.set_title("Rolling 60-day correlation: A vs B")
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ax.axhline(0, color="gray", linewidth=0.5)
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plt.tight_layout()
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plt.show()

相関が大きく変わる時期は、市場環境(高ボラ局面など)の変化と一致することが多いです。

注意点

相関は便利だが、絶対視しないこと
ポートフォリオのリスク評価では、相関 + 分散の両方が必要
銘柄の選び方によっては「ほぼ全銘柄が高相関」になることがあります(同じ業種に偏ったときなど)

生成AI へのプロンプト例

相関行列とヒートマップを 1 つの関数にまとめる例です。

日次リターンの pandas DataFrame を受け取り、相関行列を計算したうえで、
matplotlib でヒートマップを描画する関数 plot_corr_heatmap(returns) を書いてください。

要件:
- 戻り値は相関の DataFrame
- 色スケールは -1 から +1 に固定
- セルに数値を重ねる
- pandas 2.2 系の API を使う
- docstring を日本語で書く

まとめ

共分散は連動の方向を、相関係数はスケールフリーな強さを表す
相関係数は $-1$ から $+1$ の範囲で、線形関係を捉える
銘柄数が増えたらヒートマップで可視化
相関 ≠ 因果、相関は時期によって変わる、欠損日には注意

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