分散と標準偏差 — ばらつきを測る | 生成AIxPythonで始める株式分析|Python×J-Quants

データの「ばらつき」を 1 つの数で要約する指標が、分散(variance)と標準偏差(standard deviation)です。本記事では定義を整理し、pandas での計算と、株式リターンに用いるときの注意点を確認します。

分散と標準偏差の定義

データ $x_1, x_2, \dots, x_n$ と平均 $\bar{x}$ に対して、分散は次のように定義します。

\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

各データが平均からどれだけ離れているかを 2 乗して平均した値です。標準偏差 は分散の平方根です。

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

2 乗のままだと単位が「リターンの 2 乗」となり直感に合わないため、平方根を取って元のスケールに戻したものが標準偏差です。

母集団と標本

統計の本では、 $n$ で割るか $n-1$ で割るかの違いが説明されます。

呼び名	分母	用途
母分散	$n$	データ全体がそのまま母集団であるとき
標本分散(不偏分散)	$n-1$	データが母集団からの標本であるとき

pandas の var / std は デフォルトで $n-1$ (ddof=1)です。NumPy の np.var / np.std は デフォルトで $n$ (ddof=0)です。値が微妙に違うときは、まずこの設定を確認するのが早道です。

Python で計算する

サンプルとして 5 日分の単純リターンを使います。

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import numpy as np
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import pandas as pd
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returns = pd.Series([0.010, -0.005, 0.020, 0.000, -0.015])
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# pandas は ddof=1 がデフォルト(不偏分散)
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var_unbiased = returns.var()
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std_unbiased = returns.std()
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# ddof=0 を指定すると母分散になる
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var_population = returns.var(ddof=0)
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std_population = returns.std(ddof=0)
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print(f"不偏分散  : {var_unbiased:.6f}")
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print(f"標準偏差  : {std_unbiased:.6f}")
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print(f"母分散    : {var_population:.6f}")
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print(f"母標準偏差: {std_population:.6f}")

実行結果のイメージです。

不偏分散  : 0.000206
標準偏差  : 0.014353
母分散    : 0.000165
母標準偏差: 0.012845

ボラティリティとしての標準偏差

株式の文脈では、リターンの標準偏差を ボラティリティ(volatility、価格変動の大きさ) と呼びます。

日次リターンの標準偏差 → 日次ボラティリティ
月次リターンの標準偏差 → 月次ボラティリティ
年次のボラティリティに換算したものを「年率ボラティリティ」と呼ぶことが多い

年率ボラティリティへの換算は、次の式が慣例です(営業日 252 日と仮定)。

\sigma_{\text{年率}} = \sigma_{\text{日次}} \times \sqrt{252}

平方根が現れるのは、独立したリターンが時間方向に積み上がるとき、分散は時間に比例し、標準偏差はその平方根に比例するためです。

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# 日次リターン(対数)から年率ボラティリティへ
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log_returns = np.log(1 + returns)
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daily_vol = log_returns.std()
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annual_vol = daily_vol * np.sqrt(252)
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print(f"日次ボラ: {daily_vol:.6f}")
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print(f"年率ボラ: {annual_vol:.6f}")

標準偏差の意味を直感で押さえる

正規分布に近いデータでは、次の経験則がよく使われます。

範囲	含まれる割合
平均 ± 1σ	約 68%
平均 ± 2σ	約 95%
平均 ± 3σ	約 99.7%

ただし、株式リターンは 正規分布に従わない ことが多く、上の経験則は厳密にはあてはまりません。#5-4「正規分布と対数正規分布」で扱います。

注意点

平均が極端に外れているデータでは、平均からの距離が膨らみ、ばらつきも大きく出ます
ボラティリティ計算は 対数リターン が慣例です(#5-9「リターンの種類 — 単純リターンと対数リターン」)
異なる期間(日次・週次・月次)の標準偏差を直接比べるのは避け、年率換算で揃えます
過去の標準偏差は将来を保証しません

生成AI へのプロンプト例

ローリングでボラティリティを計算する例です。

日次リターンの pandas Series を受け取り、ローリング年率ボラティリティを返す関数
rolling_annual_vol(returns, window=20) を書いてください。

要件:
- 入力は対数リターンを想定
- 結果は年率(営業日 252 日)
- 計算には ddof=1 を使う
- 関数の docstring を日本語で書く
- pandas 2.2 系の API を使う

まとめ

分散は平均からの 2 乗距離の平均、標準偏差はその平方根
pandas は ddof=1(不偏)、NumPy は ddof=0(母分散)がデフォルト
株式の文脈ではリターンの標準偏差をボラティリティと呼ぶ
年率換算は $\sqrt{252}$ を掛ける慣例

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